在量子力学的学习过程中，掌握基本概念和解题技巧是非常重要的。以下是一些经典题目及其详细解答，希望能帮助大家更好地理解这一领域的核心知识。
一、选择题
1. 关于波函数的归一化条件，下列说法正确的是：
A. 波函数必须满足 $\int |\psi(x)|^2 dx = 1$
B. 波函数必须是实数
C. 波函数必须是周期函数
D. 波函数必须满足能量守恒定律
正确答案：A
解析：波函数的归一化条件是为了确保粒子出现在空间某一点的概率为1，即概率密度积分等于1。选项B、C、D均不符合归一化的定义。
二、计算题
2. 一个粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为$a$，求其基态能量。
已知：
$$
H\psi(x) = E\psi(x)
$$
其中哈密顿量为：
$$
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)
$$
且势能函数为：
$$
V(x) =
\begin{cases}
0, & 0 \leq x \leq a \\
\infty, & \text{其他区域}
\end{cases}
$$
解答：
在势阱内（$0 \leq x \leq a$），势能为零，因此薛定谔方程变为：
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)
$$
整理得：
$$
\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -k^2\psi(x), \quad k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}
$$
通解为：
$$
\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)
$$
利用边界条件$\psi(0) = 0$和$\psi(a) = 0$可得：
$$
B = 0, \quad k = \frac{n\pi}{a}, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$
因此，基态能量对应的$n = 1$，基态能量为：
$$
E_1 = \frac{\hbar^2k^2}{2m} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}
$$
三、简答题
3. 简述海森堡不确定性原理的意义，并举例说明。
解答：
海森堡不确定性原理表明，在量子力学中，某些物理量（如位置和动量）不能同时被精确测量。其数学表达式为：
$$
\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$
这反映了微观粒子的波动性和粒子性。例如，当尝试测量电子的位置时，其动量的不确定性会增大；反之亦然。
以上题目和解答旨在帮助大家巩固量子力学的基础知识。希望这些内容能够激发大家对量子世界的兴趣！
