在数学领域中，微分流形是研究几何与拓扑性质的一个重要工具。它是一种局部上看起来像欧几里得空间的拓扑空间，并且可以通过坐标图和过渡映射来描述其全局结构。本章将介绍流形的基本概念以及它们是如何构建起来的。
首先，我们定义一个n维流形M为一个豪斯多夫拓扑空间，在其中每一个点都有一个邻域U与一个同胚函数φ使得φ(U)是一个开集并且包含于R^n之中。这样的同胚称为坐标图或局部参数化。当两个这样的坐标图重叠时，它们之间的转换必须是光滑的，即所有偏导数都存在并连续。这种平滑性条件保证了我们可以对流形进行微积分操作。
接下来讨论的是流形上的切空间。给定一点p∈M, 切空间TpM可以看作是由所有可能通过p点的曲线所形成的空间。为了更精确地定义这个概念，我们需要引入导数的概念。对于任何C^∞函数f:M→R，我们可以在每一点p定义一个线性泛函df_p:TpM→R叫做f在p处的微分。这样我们就得到了一个从M到Rn的映射，该映射将每个点映射到其对应的切向量。
此外，我们还需要了解流形上的张量场。张量场是一类特殊的映射，它将每个点映射到一个张量。张量本身则是一个多重线性映射，它可以作用于多个向量或者余向量。张量场的概念允许我们在流形上执行复杂的代数运算，从而为我们提供了强大的工具去研究流形的各种属性。
最后，我们将探讨一些具体的例子来帮助理解这些抽象的概念。例如，球面S^n就是一个典型的n维流形。我们可以使用极坐标系统来参数化球面，并利用这些参数来计算球面上的度量张量。另外，我们还可以考虑更复杂的例子，如环面T²，它是由两个圆周的直积得到的。
总之，《微分流形初步第一章》为我们提供了一个全面而深入的理解流形的基础知识。通过对流形及其相关结构的研究，我们可以更好地理解和解决许多实际问题。
