在图像处理领域，噪声是影响图像质量的重要因素之一。常见的噪声类型包括高斯噪声和椒盐噪声。了解这两种噪声的数学表达方式有助于我们更好地进行图像去噪处理。
高斯噪声
高斯噪声是一种加性噪声，其概率密度函数符合正态分布。假设图像中某像素点的原始值为 \( I(x, y) \)，受到高斯噪声干扰后的值可以表示为：
\[
I_{\text{noisy}}(x, y) = I(x, y) + N(\mu, \sigma^2)
\]
其中：
- \( N(\mu, \sigma^2) \) 表示均值为 \(\mu\)、方差为 \(\sigma^2\) 的高斯分布随机变量。
- 通常情况下，均值 \(\mu=0\)，即噪声的期望值为零。
椒盐噪声
椒盐噪声是一种脉冲噪声，表现为图像中的某些像素点被随机赋予最大值（白色）或最小值（黑色）。其公式可以描述如下：
对于每个像素点 \( (x, y) \)，若满足以下条件，则该像素点被置为最大值或最小值：
\[
P =
\begin{cases}
1 & \text{当随机数 } r < p \\
0 & \text{否则}
\end{cases}
\]
其中 \( p \) 是椒盐噪声的比例，\( r \) 是一个均匀分布在 [0, 1] 上的随机数。
如果 \( P = 1 \)，则：
\[
I_{\text{noisy}}(x, y) =
\begin{cases}
\text{max\_value}, & \text{当另一个随机数 } s < 0.5 \\
\text{min\_value}, & \text{否则}
\end{cases}
\]
上述公式定义了椒盐噪声的基本生成机制，通过调整参数 \( p \)，可以控制噪声的强度。
总结
高斯噪声和椒盐噪声分别代表了连续型和离散型噪声模型，在实际应用中需要根据具体场景选择合适的去噪方法。无论是高斯滤波还是中值滤波，理解这些噪声的数学本质都是优化算法性能的关键步骤。
