2017年高考数学12题解析

在2017年的高考数学试卷中，第12题是一道经典的函数与导数结合的问题。题目以函数的单调性为核心考点，考察了考生对函数性质的理解和综合应用能力。

题目如下：

> 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b $，若函数 $ f(x) $ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围是？

解析过程如下：

1. 求导函数

首先对 $ f(x) $ 求导，得到：

$$

f'(x) = 3x^2 - 6x + a

$$

2. 分析单调性条件

根据题意，函数 $ f(x) $ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递增，即要求 $ f'(x) \geq 0 $ 对于任意 $ x \in [1, 3] $ 成立。

3. 二次函数的最小值判断

$ f'(x) = 3x^2 - 6x + a $ 是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处。顶点横坐标为：

$$

x = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 3} = 1

$$

将 $ x = 1 $ 代入 $ f'(x) $，得：

$$

f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + a = -3 + a

$$

要使 $ f'(x) \geq 0 $ 对于所有 $ x \in [1, 3] $ 成立，必须有：

$$

f'(1) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -3 + a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq 3

$$

4. 验证边界情况

当 $ a = 3 $ 时，$ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 $，进一步化简为：

$$

f'(x) = 3(x-1)^2

$$

显然，$ f'(x) \geq 0 $ 对于所有 $ x \in [1, 3] $ 恒成立。因此，$ a = 3 $ 满足条件。

综上所述，实数 $ a $ 的取值范围为：

$$

\boxed{a \geq 3}

$$

这道题不仅考查了导数的基本概念，还涉及了二次函数的性质及不等式的解法，是一道综合性较强的题目。

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希望这个解析能够帮助到你！如果还有其他问题，欢迎随时提问。