在数学分析中，分数形式的函数（如y = f(x)/g(x)）的求导是一个常见的问题。为了清晰地理解这一过程，我们需要运用到商法则。商法则指出，如果u和v是x的可微函数，则它们的商u/v的导数为：
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
这里的关键在于正确区分分子和分母，并且确保每个部分都能单独求导。例如，对于一个典型的分数函数 \( y = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \)，我们可以设定 \( u = x^2 + 3x \) 和 \( v = x - 1 \)。
首先计算各自的导数：
- \( u' = 2x + 3 \)
- \( v' = 1 \)
然后将这些值代入商法则公式中：
\[ y' = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 1)^2} \]
接下来进行展开和简化：
\[ y' = \frac{(2x^2 - 2x + 3x - 3) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2x^2 + x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \]
\[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \]
最后一步是对结果进行因式分解以简化表达式，如果可能的话。这种方法不仅适用于简单的多项式函数，也可以推广到更复杂的超越函数组合上。
通过这种方式，我们可以系统地解决任何分数形式函数的求导问题。记住，在处理这类题目时，保持清晰的步骤和准确的符号操作至关重要。
