在2023年的天津数学高考试卷中，第15题因其独特的设计和考察点引起了广泛关注。这道题目不仅考察了学生对基础知识点的掌握程度，还结合了一些创新性的解题思路，让考生在解题过程中需要灵活运用所学知识。
题目回顾
原题内容大致如下（具体表述可能略有差异）：
已知函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，且满足以下条件：
- 函数图像经过点 $(1, 2)$；
- 当 $ x = -1 $ 时，函数取得最小值；
- 函数图像与直线 $ y = 2x + 1 $ 相切。
求参数 $ a $、$ b $、$ c $ 的值，并写出函数的完整表达式。
解题思路分析
第一步：利用条件确定关键信息
1. 条件一：函数图像经过点 $(1, 2)$。
将点代入函数表达式，得到一个关于 $ a $、$ b $、$ c $ 的等式：
$$
a(1)^2 + b(1) + c = 2 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 2.
$$
2. 条件二：当 $ x = -1 $ 时，函数取得最小值。
根据二次函数的性质，函数的顶点横坐标为 $ x = -\frac{b}{2a} $。由题意可知：
$$
-\frac{b}{2a} = -1 \quad \Rightarrow \quad b = 2a.
$$
3. 条件三：函数图像与直线 $ y = 2x + 1 $ 相切。
相切意味着函数图像与直线有且仅有一个交点，因此联立方程：
$$
ax^2 + bx + c = 2x + 1.
$$
整理后得：
$$
ax^2 + (b - 2)x + (c - 1) = 0.
$$
因为相切，判别式应为零：
$$
\Delta = (b - 2)^2 - 4a(c - 1) = 0.
$$
第二步：联立方程求解
将上述三个条件联立求解：
1. 从条件二 $ b = 2a $ 代入条件一 $ a + b + c = 2 $：
$$
a + 2a + c = 2 \quad \Rightarrow \quad 3a + c = 2.
$$
2. 将 $ b = 2a $ 和 $ c = 2 - 3a $ 代入条件三的判别式 $ \Delta = 0 $：
$$
(2a - 2)^2 - 4a((2 - 3a) - 1) = 0.
$$
展开化简：
$$
(2a - 2)^2 - 4a(1 - 3a) = 0,
$$
$$
4a^2 - 8a + 4 - 4a + 12a^2 = 0,
$$
$$
16a^2 - 12a + 4 = 0.
$$
化简后：
$$
4a^2 - 3a + 1 = 0.
$$
3. 解该二次方程：
利用求根公式：
$$
a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{8}.
$$
因为判别式小于零，说明无实数解。因此，需重新检查计算过程或题目条件。
总结
通过对题目条件的分析和解题步骤的推导，可以发现该题的设计非常巧妙，不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的逻辑推理能力。希望同学们在复习备考时，能够注重细节，灵活应对各种复杂问题！
