在一场数学竞赛中，有一道题目引起了广泛讨论。这道题目不仅考验了参赛者的逻辑思维能力，还涉及到了一些巧妙的代数技巧。题目如下：已知 $a$、$b$、$c$ 是正整数，且满足方程 $a^2 + b^2 = c^2$。若 $a + b + c = 60$，求出所有可能的 $(a, b, c)$ 的组合。
这道题目看似简单，但需要结合勾股定理和整数分解的知识点来解答。首先，我们可以从勾股数组的性质入手，设 $a = m^2 - n^2$，$b = 2mn$，$c = m^2 + n^2$，其中 $m > n > 0$，并且 $m$ 和 $n$ 互质且一奇一偶。接下来，将条件 $a + b + c = 60$ 带入，得到：
$$
(m^2 - n^2) + 2mn + (m^2 + n^2) = 60.
$$
化简后为：
$$
2m^2 + 2mn = 60,
$$
即：
$$
m(m + n) = 30.
$$
通过枚举 $m$ 和 $n$ 的值，可以找到符合条件的所有解。经过计算，最终得出满足条件的 $(a, b, c)$ 组合为 $(9, 40, 41)$ 和 $(15, 20, 25)$。
因此，问题的答案是 $(9, 40, 41)$ 和 $(15, 20, 25)$。
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