在数学领域中，方阵的行列式是一个重要的概念，它不仅用于衡量矩阵的可逆性，还广泛应用于线性代数的各个方面。本文将深入探讨方阵行列式的计算公式，并通过一些实例进行详细解析。
首先，对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。当n=2时，行列式的计算公式非常简单，即：
\[ \text{det}(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]
其中，\(a_{ij}\)表示矩阵A中第i行第j列的元素。这个公式直观地展示了如何通过主对角线和次对角线的乘积之差来计算二阶行列式。
当n>2时，行列式的计算需要借助递归的方法，即利用余子式展开。具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择任意一行或一列，比如第i行，那么行列式可以表示为：
\[ \text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \]
这里，\(M_{ij}\)是去掉第i行和第j列后剩余部分形成的(n-1)阶子矩阵的行列式，称为(i,j)元的余子式。符号\((-1)^{i+j}\)决定了每个项的正负号。
为了更好地理解这一过程，让我们来看一个三阶方阵的例子：
假设矩阵A如下：
\[ A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix} \]
如果我们选择第一行展开，则行列式可以写成：
\[ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]
这个公式清晰地展示了如何通过逐行展开来计算三阶行列式。
总之，虽然高阶方阵的行列式计算较为复杂，但通过递归的方法和余子式的应用，我们可以有效地求解任何阶数的方阵行列式。掌握这些基本原理对于解决更复杂的数学问题至关重要。
