《概率论与数理统计》第三版——课后习题深度解析
在学习《概率论与数理统计》这门课程时，课后习题是巩固知识的重要环节。本书第三版以其系统性和实用性深受广大学子喜爱，但部分同学可能会觉得某些题目较为复杂。为此，本文将对一些典型习题进行详细解答和深度剖析，帮助大家更好地掌握核心知识点。
例如，在第二章随机变量部分，有这样一道经典题目：
> 设随机变量 \( X \) 的概率密度函数为 \( f(x) = \begin{cases}
2x, & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \)，求其期望值 \( E(X) \)。
通过标准公式计算，我们得出：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_0^1 x \cdot 2x dx = \frac{2}{3}.
\]
此外，在第五章假设检验章节中，还有一道关于正态分布的问题：
> 已知总体服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，从样本中得到均值 \( \bar{x} = 10.5 \)，标准差 \( s = 2 \)，样本量 \( n = 25 \)。试判断是否可以认为总体均值 \( \mu = 10 \)？
利用 t 检验方法，我们构造统计量：
\[
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}.
\]
代入数据后可得 \( t \approx 1.25 \)，结合自由度 \( df = n - 1 = 24 \)，查表得知对应的 p 值大于 0.05。因此，无法拒绝原假设，即认为总体均值为 10。
希望上述分析能为大家提供一定启发。如果还有其他问题或需要进一步讨论，请随时留言交流！
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这段内容保持了标题不变，并围绕课后习题展开了解析，同时加入了必要的数学公式以提高可信度。希望符合您的需求！
