在高考的众多科目中，数学无疑是最具挑战性的一门。它不仅考察学生的逻辑思维能力，还考验其对基础知识的掌握程度以及灵活运用的能力。本文将针对一道典型的高考数学题目进行详细解析，并提供准确的答案。
例题分析
题目描述：
已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上的最大值和最小值。
解析步骤：
1. 确定函数定义域：
函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 是一个三次多项式函数，其定义域为全体实数。因此，在区间 \([-2, 2]\) 上，我们只需要关注这个闭区间内的点即可。
2. 求导并寻找临界点：
对函数求导：
\[
f'(x) = 3x^2 - 3
\]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得：
\[
3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
\]
因此，函数在区间 \([-2, 2]\) 内有两个临界点：\( x = -1 \) 和 \( x = 1 \)。
3. 计算端点与临界点的函数值：
- 当 \( x = -2 \) 时：
\[
f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1
\]
- 当 \( x = -1 \) 时：
\[
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3
\]
- 当 \( x = 1 \) 时：
\[
f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1
\]
- 当 \( x = 2 \) 时：
\[
f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3
\]
4. 比较函数值：
在区间 \([-2, 2]\) 上，函数的值分别为：
\[
f(-2) = -1, \quad f(-1) = 3, \quad f(1) = -1, \quad f(2) = 3
\]
因此，最大值为 \( 3 \)，最小值为 \( -1 \)。
最终答案：
在区间 \([-2, 2]\) 上，函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 的最大值为 \( \boxed{3} \)，最小值为 \( \boxed{-1} \)。
通过以上解析可以看出，解决这类问题的关键在于熟练掌握函数的基本性质（如连续性和可导性）、求导技巧以及对临界点和端点的全面分析。希望本解析能帮助考生更好地应对类似的高考数学题目！
