在数学分析中，无穷级数是一个重要的研究对象，它不仅在理论上有深远的意义，而且在实际应用中也发挥着不可替代的作用。无穷级数的性质主要分为两类：收敛和发散。当一个无穷级数的部分和序列趋于某个确定值时，我们称该级数为收敛；否则，称为发散。下面将列举50个常见的收敛与发散级数示例，并简要说明其特点。
一、常见的收敛级数
1. 几何级数：$\sum_{n=0}^\infty x^n$（当$|x| < 1$时收敛）。
2. 调和级数变体：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$（当$p > 1$时收敛）。
3. 指数函数展开：$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$（对于任意$x \in \mathbb{R}$均收敛）。
4. 对数函数展开：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n$（当$|x-1|<1$时收敛）。
5. 幂级数形式：$\sum_{n=0}^\infty n! x^n$（仅在$x=0$处收敛）。
6. 三角函数展开：$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。
7. 余弦函数展开：$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$。
8. 自然对数展开：$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$（当$|x|<1$时收敛）。
9. 欧拉公式展开：$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$。
10. 贝塔函数相关：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$（收敛至1）。
二、常见的发散级数
11. 调和级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$（发散）。
12. 交错调和级数变体：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$（收敛）。
13. $p$-级数极限情形：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$（当$p \leq 1$时发散）。
14. 无界增长项：$\sum_{n=1}^\infty n$（发散）。
15. 无穷大的幂次：$\sum_{n=1}^\infty n^p$（当$p \geq -1$时发散）。
16. 对数增长项：$\sum_{n=1}^\infty \ln(n)$（发散）。
17. 反向指数函数：$\sum_{n=1}^\infty e^n$（发散）。
18. 周期性发散：$\sum_{n=1}^\infty \sin(n)$（发散）。
19. 分式发散：$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$（发散）。
20. 阶乘发散：$\sum_{n=1}^\infty n!$（发散）。
三、混合特性级数
21. 收敛与发散交替：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$（收敛）。
22. 收敛与发散组合：$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$（发散）。
23. 条件收敛：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$（条件收敛）。
24. 绝对收敛：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$（绝对收敛）。
25. 发散叠加：$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$（发散）。
26. 振荡发散：$\sum_{n=1}^\infty \sin(n)\cdot\frac{1}{n}$（发散）。
27. 渐近发散：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)}{n}$（发散）。
28. 多项式发散：$\sum_{n=1}^\infty n^k$（当$k \geq -1$时发散）。
29. 指数发散：$\sum_{n=1}^\infty e^{-n}$（收敛）。
30. 递归发散：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$（收敛至1）。
四、特殊级数及其应用
31. 狄利克雷级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$（黎曼ζ函数）。
32. 阿贝尔级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$（阿贝尔和）。
33. 傅里叶级数：$\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}$。
34. 波尔查诺级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n}$（收敛）。
35. 拉格朗日级数：$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n!)^2}$（收敛）。
36. 斯特林级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \ln(n)}$（发散）。
37. 哈代-李特尔伍德级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$（当$p>1$时收敛）。
38. 菲涅耳积分级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n}$（收敛）。
39. 普朗克辐射定律级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$（收敛）。
40. 黎曼级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$（收敛）。
五、其他经典级数
41. 高斯级数：$\sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n!} z^n$。
42. 基本级数：$\sum_{n=0}^\infty q^n$（当$|q|<1$时收敛）。
43. 阶乘级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$（收敛至$e$）。
44. 分式级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$（收敛至1）。
45. 指数分式级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n}$（收敛）。
46. 对数分式级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)}{n^2}$（收敛）。
47. 三角分式级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n^2}$（收敛）。
48. 幂次分式级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$（收敛）。
49. 指数对数级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)}{n^3}$（收敛）。
50. 高阶分式级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$（收敛）。
以上列举了50个常见的收敛与发散级数，涵盖了多种类型和应用场景。通过这些例子，我们可以更好地理解无穷级数的基本性质以及如何判断其收敛性。希望读者能够从中获得启发，并进一步探索更多有趣的数学问题！
