2022年广东省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
一、选择题部分
1. 已知集合 $ A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 < 0\} $，$ B = \{x \mid x > 1\} $，则 $ A \cap B $ 为（ ）。
A. $ (1, 2) $
B. $ [1, 2] $
C. $ (1, +\infty) $
D. $ [1, +\infty) $
解析：集合 $ A $ 中的不等式可化为 $ (x-1)(x-2) < 0 $，解得 $ 1 < x < 2 $。与集合 $ B $ 的条件 $ x > 1 $ 相交后，结果为 $ (1, 2) $。
答案：A
2. 已知复数 $ z = 1 + i $，则 $ |z| = $ （ ）。
A. $ \sqrt{2} $
B. $ 2 $
C. $ 1 $
D. $ 0 $
解析：复数模长公式为 $ |z| = \sqrt{\text{实部}^2 + \text{虚部}^2} $。代入 $ z = 1 + i $，得 $ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $。
答案：A
二、填空题部分
3. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $，则 $ f'(x) = $ __________。
解析：求导时对每一项分别求导，得 $ f'(x) = 3x^2 - 6x $。
答案：$ 3x^2 - 6x $
4. 若随机变量 $ X \sim N(0, 1) $，则 $ P(X \leq 1) \approx $ __________（保留两位小数）。
解析：查标准正态分布表或利用计算器，得 $ P(X \leq 1) \approx 0.84 $。
答案：0.84
三、解答题部分
5. 设函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $，已知 $ f(1) = 0 $，$ f(2) = 6 $。求 $ a $ 和 $ b $ 的值，并写出函数的解析式。
解析：将已知条件代入函数表达式：
$$
f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = -1 \tag{1}
$$
$$
f(2) = 2^2 + a \cdot 2 + b = 6 \quad \Rightarrow \quad 4 + 2a + b = 6 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = 2 \tag{2}
$$
联立方程 (1) 和 (2)，消去 $ b $：
$$
(2) - (1): 2a + b - (a + b) = 2 - (-1) \quad \Rightarrow \quad a = 3
$$
将 $ a = 3 $ 代入 (1)：
$$
3 + b = -1 \quad \Rightarrow \quad b = -4
$$
因此，函数解析式为 $ f(x) = x^2 + 3x - 4 $。
答案：$ a = 3 $，$ b = -4 $，函数解析式为 $ f(x) = x^2 + 3x - 4 $。
以上为试卷的部分内容及解析，更多题目详见完整版试卷。
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