高等数学作为一门重要的基础学科，在大学教育中占据着举足轻重的地位。它不仅为后续专业课程提供了理论支持，还培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。为了帮助大家更好地掌握高数知识，本文将整理一些常用的高数基本公式，希望能对学习者有所帮助。
一、极限与连续
1. 极限定义：
\[
\lim_{x \to c} f(x) = L \quad \text{当且仅当} \quad \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{使得} |f(x)-L| < \epsilon \text{只要} |x-c|<\delta.
\]
2. 夹逼定理：
如果 \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，并且 \(\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L\)，那么 \(\lim_{x \to c} f(x) = L\).
3. 连续性条件：
函数 \(f(x)\) 在点 \(c\) 处连续，则需要满足以下三个条件：
- \(f(c)\) 存在；
- \(\lim_{x \to c} f(x)\) 存在；
- \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\).
二、导数与微分
4. 导数定义：
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
5. 基本求导法则：
- 线性法则：\((af+bg)' = af' + bg'\);
- 乘积法则：\((fg)' = f'g + fg'\);
- 商法则：\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\);
- 链式法则：\((f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
6. 高阶导数：
第二类导数表示为 \(f''(x)\)，表示函数 \(f(x)\) 的变化率的变化率。
7. 微分形式：
若 \(y=f(x)\)，则其微分为 \(dy=f'(x)dx\).
三、积分学
8. 不定积分基本性质：
\[
\int kf(x) dx = k \int f(x) dx, \quad \int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.
\]
9. 定积分定义：
\[
\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \Delta x,
\]
其中 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\), \(x_i^\) 是区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 内任意一点。
10. 牛顿-莱布尼兹公式：
\[
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a),
\]
其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。
以上仅为高数部分基本公式的概述，实际应用中还需结合具体问题灵活运用。希望这些公式能为大家的学习提供便利！
