在数学学习中，三角函数和反三角函数是两个非常重要的概念。它们广泛应用于几何学、物理学、工程学以及计算机科学等领域。为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识，本文将系统地整理并介绍三角函数与反三角函数的相关公式。

一、基本三角函数定义

三角函数主要包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan），以及它们的倒数——余割（csc）、正割（sec）和余切（cot）。以下是它们的基本定义：

- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边

- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边

- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边

对应的倒数函数为：

- 余割函数：cscθ = 1 / sinθ

- 正割函数：secθ = 1 / cosθ

- 余切函数：cotθ = 1 / tanθ

二、三角恒等式

三角函数之间存在许多恒等关系，以下是一些常用的公式：

1. 平方关系：

- sin²θ + cos²θ = 1

- tan²θ + 1 = sec²θ

- cot²θ + 1 = csc²θ

2. 和差角公式：

- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

3. 倍角公式：

- sin2θ = 2sinθcosθ

- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ

- tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)

4. 半角公式：

- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]

- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]

- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]

三、反三角函数

反三角函数是用来求解已知三角函数值时对应角度的函数。常见的反三角函数有反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）和反正切（arctan）。

1. 反正弦函数：y = arcsinx，表示满足sin y = x且y ∈ [-π/2, π/2]的唯一角y。

2. 反余弦函数：y = arccosx，表示满足cos y = x且y ∈ [0, π]的唯一角y。

3. 反正切函数：y = arctanx，表示满足tan y = x且y ∈ (-π/2, π/2)的唯一角y。

四、反三角函数的基本性质

1. 定义域与值域：

- arcsinx 的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

- arccosx 的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。

- arctanx 的定义域为(-∞, +∞)，值域为(-π/2, π/2)。

2. 互逆关系：

- sin(arcsinx) = x （当x ∈ [-1, 1]时）

- arcsin(sinx) = θ （当θ ∈ [-π/2, π/2]时）

五、总结

通过以上对三角函数与反三角函数的全面梳理，我们可以看到两者之间的紧密联系及其广泛应用。熟练掌握这些公式不仅能够提升解题效率，还能加深对数学本质的理解。希望本文能为大家的学习提供一定的帮助！

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