1. 算术平均数与几何平均数的关系
对于任意两个非负实数 \(a\) 和 \(b\)，有以下关系成立：
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
\]
当且仅当 \(a = b\) 时取等号。这个公式表明，两个非负数的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
2. 三个数的算术-几何平均不等式
对于任意三个非负实数 \(a, b, c\)，有：
\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]
同样地，当且仅当 \(a = b = c\) 时取等号。这个公式可以推广到更多的数的情况。
3. 调和平均数与几何平均数的关系
对于任意两个正实数 \(a\) 和 \(b\)，有：
\[
\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}
\]
这里调和平均数为 \(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\)，当且仅当 \(a = b\) 时取等号。
4. 幂平均不等式
对于任意正实数 \(a, b\) 和正整数 \(n\)，有：
\[
\left(\frac{a^n + b^n}{2}\right)^{\frac{1}{n}} \geq \sqrt{ab}
\]
特别地，当 \(n = 1\) 时，这是算术平均数与几何平均数的关系；当 \(n \to \infty\) 时，得到最大值的极限情况。
这些公式在数学分析、优化问题以及各种实际应用中都具有重要意义。通过理解和运用这些基本不等式，我们可以更有效地解决问题并优化结果。希望这些内容能对你的学习有所帮助！
