在通信工程领域中，幅度调制（Amplitude Modulation, AM）是一种基础且重要的信号处理技术。它通过改变载波信号的振幅来传递信息，广泛应用于广播通信和无线传输等领域。为了更好地理解AM调制的工作原理及其性能评估，我们可以通过一些具体的计算题来深入探讨。

假设有一个载波信号为 \( c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t) \)，其中 \( A_c \) 是载波幅度，\( f_c \) 是载波频率；同时存在一个调制信号 \( m(t) = M_m \cos(2\pi f_m t) \)，这里 \( M_m \) 表示调制指数，\( f_m \) 为调制信号频率。根据AM调制的基本公式，调制后的信号可以表示为：

\[ s_{AM}(t) = [A_c + k_a \cdot m(t)] \cos(2\pi f_c t) \]

其中 \( k_a \) 是调制灵敏度系数。

接下来让我们解决一个具体的例子：已知载波幅度 \( A_c = 5V \)，载波频率 \( f_c = 10^6 Hz \)，调制信号幅度 \( M_m = 2V \)，调制频率 \( f_m = 10^3 Hz \)，以及调制灵敏度 \( k_a = 0.4 \)。请计算并绘制该AM信号的时间域表达式，并分析其频谱特性。

首先，将给定参数代入上述公式得到时间域表达式：

\[ s_{AM}(t) = [5 + 0.4 \cdot 2 \cos(2\pi \times 10^3 t)] \cos(2\pi \times 10^6 t) \]

简化后可得：

\[ s_{AM}(t) = (5 + 0.8 \cos(2\pi \times 10^3 t)) \cos(2\pi \times 10^6 t) \]

进一步展开为三角函数形式：

\[ s_{AM}(t) = 5\cos(2\pi \times 10^6 t) + 0.4\cos((2\pi \times 10^6 + 2\pi \times 10^3)t) + 0.4\cos((2\pi \times 10^6 - 2\pi \times 10^3)t) \]

从以上结果可以看出，AM信号由三个频率成分组成：一个是载波频率 \( f_c \)，另外两个分别是上边带频率 \( f_c+f_m \) 和下边带频率 \( f_c-f_m \)。

关于频谱特性，AM信号在频域表现为以载波频率为中心，左右对称分布着上下两个边带。每个边带上都携带了原始调制信息。当调制深度较大时（即 \( k_a > 1 \)），可能会出现过调现象，导致信号失真。

通过这样的计算练习，我们可以更直观地了解AM调制的工作机制及其特点。这种类型的题目不仅有助于巩固理论知识，还能增强实际应用能力，对于学习通信原理的学生来说是非常有价值的训练材料。