在数学学习中，对数函数是一个重要的知识点，它不仅在理论研究中有广泛应用，在实际问题解决中也占据着不可或缺的地位。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，本文将提供一些精选的对数函数练习题，并附上详细的解答过程。
练习题一：基本性质应用
题目：已知 $ \log_a x = 3 $，求 $ \log_a (x^2) $ 的值。
解答：
根据对数的基本性质，$\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x$。因此，
$$
\log_a (x^2) = 2 \cdot \log_a x = 2 \cdot 3 = 6.
$$
所以，$\log_a (x^2) = 6$。
练习题二：换底公式运用
题目：计算 $\log_2 8$ 的值。
解答：
利用换底公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$，选择以10为底的对数进行计算：
$$
\log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}.
$$
我们知道 $8 = 2^3$，所以 $\log_{10} 8 = \log_{10} (2^3) = 3 \cdot \log_{10} 2$。代入后得到：
$$
\log_2 8 = \frac{3 \cdot \log_{10} 2}{\log_{10} 2} = 3.
$$
因此，$\log_2 8 = 3$。
练习题三：复合运算
题目：若 $\log_a x = m$ 和 $\log_a y = n$，求 $\log_a (xy)$ 的值。
解答：
根据对数的加法性质 $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$，代入已知条件得：
$$
\log_a (xy) = m + n.
$$
所以，$\log_a (xy) = m + n$。
练习题四：逆运算
题目：已知 $\log_5 125 = x$，求 $x$ 的值。
解答：
根据对数的定义，$\log_a b = c$ 等价于 $a^c = b$。因此，$\log_5 125 = x$ 表示 $5^x = 125$。由于 $125 = 5^3$，所以 $x = 3$。
$$
\log_5 125 = 3.
$$
通过以上练习题，我们可以看到对数函数的多种性质和技巧在实际问题中的应用。希望这些题目能够帮助你巩固对数函数的基础知识，并提升解题能力。如果还有其他疑问或需要进一步的学习资源，请随时联系老师或查阅相关教材。
（注：以上内容均为原创编写，旨在帮助学生理解对数函数的核心概念与解题方法。）
