在数学中，平面向量是一个重要的概念，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。掌握平面向量的基本公式对于解决相关问题至关重要。本文将全面总结平面向量的基本公式，并以简洁明了的方式呈现出来。
一、向量的基本定义与表示
1. 向量的表示
向量可以用有向线段表示，通常记为$\vec{a} = (x, y)$，其中$x$和$y$分别为横坐标和纵坐标。
2. 零向量
零向量记为$\vec{0} = (0, 0)$，其长度为0，方向任意。
3. 单位向量
单位向量是指模长为1的向量，可以通过公式$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$得到。
二、向量的运算
1. 加法与减法
- 向量加法：$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
- 向量减法：$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
2. 数乘
- 向量数乘：$k\vec{a} = (kx, ky)$，其中$k$为实数。
3. 点积（数量积）
- 点积公式：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
- 几何意义：点积等于两向量模长的乘积与夹角余弦值的乘积，即$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$。
4. 叉积（向量积）
- 叉积仅适用于三维空间，但在二维平面中可以扩展为标量形式：$\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$。
三、向量的性质
1. 平行与垂直
- 平行条件：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = k\vec{b}, k \in \mathbb{R}$
- 垂直条件：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
2. 模长（长度）
- 模长公式：$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
3. 方向角
- 方向角$\alpha$满足$\tan\alpha = \frac{y}{x}$，且$\alpha \in [0, 2\pi)$。
四、重要定理与推论
1. 三角形法则
- 向量的加法遵循三角形法则，即$\vec{a} + \vec{b}$可以看作从$\vec{a}$的终点指向$\vec{b}$的终点的向量。
2. 平行四边形法则
- 向量的加法也可以通过平行四边形法则实现，即$\vec{a} + \vec{b}$是两个向量构成的平行四边形的对角线。
3. 投影公式
- 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为$\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$。
五、应用实例
1. 求夹角
已知$\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (-4, 3)$，计算它们之间的夹角。
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-12 + 12}{5 \cdot 5} = 0
$$
所以$\theta = 90^\circ$。
2. 判断平行
若$\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (4, 6)$，则$\vec{a} \parallel \vec{b}$，因为$\vec{a} = 2\vec{b}$。
通过以上公式与实例，我们可以看到平面向量在解决实际问题中的强大作用。熟练掌握这些基本公式，不仅能够提升解题效率，还能帮助我们更好地理解向量的本质。希望本文能为读者提供实用的帮助！
