前言
随着教育改革的不断深入，对口升学考试逐渐成为职业教育体系中重要的选拔方式之一。作为山西省内的一项重要考试，2024年的对口升学考试吸引了众多考生的关注。其中，数学学科因其逻辑性强、知识点覆盖面广的特点，成为了许多考生复习的重点。本文将结合2024年山西对口升学考试卷中的数学真题，为考生提供详细的解题思路和答案解析。
真题展示与解析
题目一：函数与方程
已知函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求该函数的零点，并判断其在区间 $[0, 5]$ 上的单调性。
解析：
1. 求零点
零点即为函数值为零时的 $ x $ 值。令 $ f(x) = 0 $，得：
$$
x^2 - 4x + 3 = 0
$$
因式分解可得：
$$
(x - 1)(x - 3) = 0
$$
解得零点为 $ x_1 = 1 $ 和 $ x_2 = 3 $。
2. 判断单调性
求导数 $ f'(x) = 2x - 4 $。令 $ f'(x) > 0 $，得 $ x > 2 $；令 $ f'(x) < 0 $，得 $ x < 2 $。因此，函数在 $[0, 2]$ 上递减，在 $[2, 5]$ 上递增。
答案：
零点为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $；函数在 $[0, 2]$ 上递减，在 $[2, 5]$ 上递增。
题目二：几何问题
如图所示，直角三角形 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 12 $。求斜边 $ AC $ 的长度及面积。
解析：
1. 求斜边长度
根据勾股定理：
$$
AC^2 = AB^2 + BC^2
$$
将已知数据代入：
$$
AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
$$
解得 $ AC = \sqrt{169} = 13 $。
2. 求面积
直角三角形的面积公式为：
$$
S = \frac{1}{2} \times AB \times BC
$$
代入数据：
$$
S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30
$$
答案：
斜边 $ AC = 13 $，面积 $ S = 30 $。
题目三：概率统计
从一副标准扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。
解析：
一副标准扑克牌共有 $ 52 $ 张，其中红桃有 $ 13 $ 张。因此，抽到红桃的概率为：
$$
P(\text{红桃}) = \frac{\text{红桃数量}}{\text{总牌数}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}
$$
答案：
抽到红桃的概率为 $ \frac{1}{4} $。
总结
通过对以上三道典型题目的详细解析，我们可以看到，2024年山西对口升学考试卷的数学部分涵盖了函数、几何、概率等多个核心知识点。这些题目不仅考察了考生的基本功，还注重考查学生的综合分析能力。希望考生能够通过本文的解析，更好地掌握相关知识点，为考试做好充分准备。
最后，预祝所有参加2024年山西对口升学考试的考生取得优异成绩！
