在大学数学课程中，《概率论与数理统计》是一门重要的基础学科，它不仅为后续的专业学习打下坚实的基础，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力。第七章通常会涉及随机变量的函数分布、大数定律以及中心极限定理等内容。这些知识点不仅是理论上的重要组成部分，也是实际应用中的核心工具。

一、随机变量的函数分布

随机变量的函数分布是概率论中的一个基本概念。当给定一个随机变量及其分布时，我们可以通过某种函数将其转化为另一个随机变量。例如，若 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f_X(x) \)，而 \( Y = g(X) \) 是 \( X \) 的函数，则 \( Y \) 的概率密度函数可以通过变换公式求得。

例题：

设随机变量 \( X \sim N(0, 1) \)，即 \( X \) 服从标准正态分布。令 \( Y = X^2 \)，求 \( Y \) 的概率密度函数。

解答：

根据变换公式，首先确定 \( Y \) 的取值范围为 \( [0, +\infty) \)。然后计算雅可比行列式 \( |J| = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2\sqrt{y}} \)。因此，\( Y \) 的概率密度函数为：

\[ f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + f_X(-\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \]

由于 \( X \sim N(0, 1) \)，代入后得到 \( f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-\frac{y}{2}}, y > 0 \)。

二、大数定律

大数定律揭示了样本均值随着样本容量的增加逐渐接近总体均值的现象。这是概率论中最基本的定律之一，对于统计推断具有重要意义。

例题：

设有一列独立同分布的随机变量 \( X_1, X_2, \dots, X_n \)，且 \( E(X_i) = \mu \)，\( D(X_i) = \sigma^2 \)。证明样本均值 \( \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \) 依概率收敛于 \( \mu \)。

解答：

根据切比雪夫不等式，有：

\[ P(|\bar{X}_n - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\text{Var}(\bar{X}_n)}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2} \]

当 \( n \to \infty \) 时，上式趋于零，表明 \( \bar{X}_n \) 依概率收敛于 \( \mu \)。

三、中心极限定理

中心极限定理是概率论中另一条重要的定律，它指出大量独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。这一结论在实际应用中极为广泛。

例题：

假设某工厂生产的零件长度 \( X \) 服从均值为 \( \mu = 50 \) mm、方差为 \( \sigma^2 = 4 \) mm²的正态分布。现随机抽取 100 个零件，求这 100 个零件长度的平均值落在 49.8 mm 到 50.2 mm 之间的概率。

解答：

由中心极限定理知，样本均值 \( \bar{X}_{100} \sim N(50, \frac{4}{100}) \)。标准化后：

\[ Z = \frac{\bar{X}_{100} - 50}{\sqrt{\frac{4}{100}}} \sim N(0, 1) \]

计算概率：

\[ P(49.8 < \bar{X}_{100} < 50.2) = P\left(\frac{49.8 - 50}{0.2} < Z < \frac{50.2 - 50}{0.2}\right) \]

\[ = P(-1 < Z < 1) \approx 0.6827 \]

以上便是第七章的一些典型习题及其解答。通过这些练习，我们可以更好地理解和掌握概率论与数理统计的核心知识。希望同学们能够勤加练习，不断巩固所学内容。