在高中数学的学习过程中，导数是一个重要的知识点，它不仅是微积分的基础，也是解决函数问题、优化问题的重要工具。为了帮助同学们更好地掌握导数的相关知识，这里精心挑选了20道经典的导数题目，供同学们练习和巩固。

一、基础概念与计算

1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 的导数。

2. 已知 $g(x) = \sin(2x)$，求其导数。

3. 计算 $h(x) = e^{2x} \cdot \ln(x)$ 的导数。

4. 若 $y = \frac{1}{x^2}$，求其导数。

5. 求函数 $k(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ 的导数。

二、应用与分析

6. 求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ 在点 $x=2$ 处的导数值。

7. 确定函数 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的单调区间。

8. 找出函数 $h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ 的极值点。

9. 判断函数 $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ 是否存在最大值。

10. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, 1]$ 上的平均变化率。

三、综合与拓展

11. 已知函数 $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$，求其在 $x=0$ 处的导数。

12. 求函数 $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数，并讨论其单调性。

13. 确定函数 $h(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ 在 $x > 0$ 范围内的极限行为。

14. 求函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}$ 的导数。

15. 分析函数 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的凹凸性。

四、实际问题建模

16. 一个矩形的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米，面积为 $A = xy$。若周长固定为 $P = 2(x+y)$，求面积 $A$ 关于边长 $x$ 的导数。

17. 一辆汽车以速度 $v(t) = 3t^2 - 6t + 4$ 行驶，求其加速度。

18. 某商品价格 $p$ 与销量 $q$ 满足关系 $q = 100 - 10p$，求收入 $R = p \cdot q$ 对价格 $p$ 的弹性。

19. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $x=1$ 处的切线方程。

20. 一个球体的半径以每秒 $0.1$ 厘米的速度增大，求其体积对时间的变化率。

通过这20道经典题目，同学们可以系统地复习导数的基本概念、计算方法以及实际应用。希望这些题目能够帮助大家加深对导数的理解，并在考试中取得优异的成绩！