在学习线性代数的过程中，课后习题是巩固知识的重要环节。通过解答这些问题，我们不仅能够加深对理论的理解，还能提高解决问题的实际能力。以下是一些典型习题的答案解析，希望能帮助大家更好地掌握这门学科的核心概念。
一、向量空间的基本性质
题目：设V是一个向量空间，证明零向量0是唯一的。
解答：假设存在两个不同的零向量0和0'，根据向量空间的定义，对于任意向量v ∈ V，有：
- v + 0 = v
- v + 0' = v
由上述等式可得：
- 0 = 0 + 0' = 0'
因此，零向量唯一。
二、矩阵运算与秩的关系
题目：给定矩阵A和B，证明rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)。
解答：利用矩阵秩的定义及线性无关的概念进行证明。首先，矩阵A+B的列空间包含于A和B的列空间之和。由此可知，A+B的秩不会超过A和B的秩之和。即：
rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)
三、特征值与特征向量的应用
题目：已知矩阵A的特征值为λ₁=3, λ₂=-2，求A²的特征值。
解答：若λ是矩阵A的特征值，则λ²是A²的特征值。因此，A²的特征值为λ₁²=9和λ₂²=4。
以上仅为部分习题的答案解析，希望对大家的学习有所帮助。在线性代数的学习中，多做练习、勤于思考是非常重要的。如果有更多问题或需要进一步的帮助，请随时提问！
