在大学学习中，概率论与数理统计是一门重要的基础课程，它不仅为后续专业课程打下坚实的基础，还培养了学生分析问题和解决问题的能力。为了帮助同学们更好地复习和巩固所学知识，本文将整理一份期末考试的模拟试题及其参考答案，供同学们参考使用。
一、选择题
1. 设随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，则以下说法正确的是（ ）
A. \(F(x)\) 是非负的
B. \(F(x)\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上单调递增
C. \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\)
D. 以上都正确
参考答案：D
2. 已知随机变量 \(X \sim N(0, 1)\)，求 \(P(X > 1.96)\) 的值。
A. 0.025
B. 0.05
C. 0.975
D. 0.95
参考答案：A
3. 若 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 独立同分布，且均服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，则 \(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) 的期望为（ ）。
A. \(\frac{\lambda}{n}\)
B. \(\frac{1}{\lambda}\)
C. \(\lambda\)
D. \(n\lambda\)
参考答案：B
二、填空题
4. 设随机事件 \(A\) 和 \(B\) 满足 \(P(A) = 0.6\)，\(P(B) = 0.5\)，且 \(P(A \cup B) = 0.8\)，则 \(P(A \cap B) =\) ________。
参考答案：0.3
5. 若随机变量 \(X \sim U[0, 1]\)，则 \(P(X > 0.7) =\) ________。
参考答案：0.3
6. 设总体 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，从中抽取样本 \(X_1, X_2, \dots, X_n\)，则样本均值 \(\bar{X}\) 的方差为 ________。
参考答案：\(\frac{\sigma^2}{n}\)
三、计算题
7. 设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为
\[
f(x) =
\begin{cases}
kx, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]
（1）求常数 \(k\)；
（2）求 \(P(X > 1)\)。
解答：
（1）由概率密度函数的归一化条件 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1\)，得
\[
\int_0^2 kx \, dx = 1 \implies \left[\frac{kx^2}{2}\right]_0^2 = 1 \implies \frac{k \cdot 4}{2} = 1 \implies k = \frac{1}{2}.
\]
（2）
\[
P(X > 1) = \int_1^2 \frac{1}{2}x \, dx = \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2 = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
最终答案：（1）\(k = \frac{1}{2}\)，（2）\(P(X > 1) = \frac{3}{4}\)
8. 设总体 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，从总体中抽取样本 \(X_1, X_2, \dots, X_n\)，已知样本均值 \(\bar{X} = 10\)，样本方差 \(S^2 = 4\)，试估计总体均值 \(\mu\) 的置信区间（置信水平为 95%）。
解答：
根据正态分布的性质，当样本容量较大时，样本均值 \(\bar{X}\) 近似服从 \(N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\) 分布。由于总体方差未知，可使用样本方差 \(S^2\) 作为估计值，此时构造置信区间公式为：
\[
\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
\]
其中，\(t_{\alpha/2}(n-1)\) 表示自由度为 \(n-1\) 的 t 分布的双侧分位点，\(\alpha = 0.05\)。假设 \(n = 30\)，查表得 \(t_{0.025}(29) \approx 2.045\)。于是，置信区间为：
\[
10 \pm 2.045 \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{30}} \approx 10 \pm 2.045 \cdot 0.365 \approx [9.25, 10.75].
\]
最终答案：置信区间为 \([9.25, 10.75]\)
四、证明题
9. 设随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 独立同分布于 \(N(0, 1)\)，证明 \(Z = X + Y\) 服从 \(N(0, 2)\)。
解答：
根据正态分布的性质，若 \(X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)\)，\(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)\)，且 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则 \(Z = X + Y\) 服从 \(N(\mu_X + \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)\)。
在本题中，\(\mu_X = \mu_Y = 0\)，\(\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = 1\)，因此
\[
Z \sim N(0 + 0, 1 + 1) = N(0, 2).
\]
最终结论：证毕。
通过以上题目和解答，希望同学们能够更加熟练地掌握概率论与数理统计的核心知识点，并在考试中取得优异成绩！如果还有疑问，请及时向老师或同学请教，祝大家学习进步！
