高等数学作为一门基础学科，在理工科专业中占据着举足轻重的地位。对于初学者来说，掌握基本概念和解题技巧尤为重要。本文将围绕《高等数学（一）》中的部分经典习题展开讨论，并提供详细的解答过程。
一、函数与极限
例题1：求函数\(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)在\(x=2\)处的极限。
解答：
首先观察到当\(x\)趋近于2时，分母为零，直接代入不可行。因此可以对分子进行因式分解：
\[
f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}
\]
当\(x \neq 2\)时，上式可简化为\(f(x) = x + 2\)。因此，
\[
\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4
\]
二、导数及其应用
例题2：设函数\(g(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)，求其在点\(x=1\)处的切线方程。
解答：
首先计算\(g'(x)\)，即函数的导数：
\[
g'(x) = 3x^2 - 6x
\]
接着代入\(x=1\)得到斜率\(k = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3\)。同时，计算函数值\(g(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 0\)。
由此可知切点坐标为\((1, 0)\)，利用点斜式公式可得切线方程：
\[
y - 0 = -3(x - 1)
\]
化简后为：
\[
y = -3x + 3
\]
三、积分的基本运算
例题3：计算不定积分\(\int (2x + e^{-x}) dx\)。
解答：
利用线性性质分开积分：
\[
\int (2x + e^{-x}) dx = \int 2x dx + \int e^{-x} dx
\]
分别计算每一项：
\[
\int 2x dx = x^2 + C_1, \quad \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C_2
\]
合并结果为：
\[
\int (2x + e^{-x}) dx = x^2 - e^{-x} + C
\]
其中\(C = C_1 + C_2\)为任意常数。
通过以上三个例子可以看出，《高等数学（一）》的核心在于理解基本概念并灵活运用公式。希望这些习题能够帮助大家更好地掌握这门课程的基础知识。如果还有其他问题或需要进一步探讨的内容，请随时提出！
