统计学作为一门研究数据收集、分析、解释和展示的科学，在现代社会中扮演着至关重要的角色。无论是商业决策、科学研究还是政策制定，统计学都提供了有力的支持。本文将通过一些典型的统计学习题及其详细解答，帮助读者更好地理解统计学的基本概念与应用。
题目一：概率计算
问题描述：假设一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率是多少？
解答：
总共有8个球（5个红球+3个蓝球），因此抽到红球的可能性为红球数量除以总数。
\[ P(\text{红球}) = \frac{\text{红球数量}}{\text{总球数}} = \frac{5}{8} \]
所以，抽到红球的概率是 0.625 或 62.5%。
题目二：平均值与标准差
问题描述：某班级学生的数学成绩分别为：70, 85, 90, 65, 80，请计算该班级的平均分以及成绩的标准差。
解答：
1. 计算平均分：
平均分公式为：
\[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \]
其中 \(x_i\) 是每个学生的成绩，\(n\) 是学生总数。
\[
\bar{x} = \frac{70 + 85 + 90 + 65 + 80}{5} = \frac{390}{5} = 78
\]
2. 计算标准差：
标准差公式为：
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} \]
每个成绩与平均值的偏差平方如下：
\[
(70-78)^2 = 64, \quad (85-78)^2 = 49, \quad (90-78)^2 = 144, \quad (65-78)^2 = 169, \quad (80-78)^2 = 4
\]
总和为：
\[
64 + 49 + 144 + 169 + 4 = 430
\]
因此，标准差为：
\[
\sigma = \sqrt{\frac{430}{5}} = \sqrt{86} \approx 9.27
\]
最终结果：
- 平均分为 78
- 成绩的标准差约为 9.27
题目三：置信区间
问题描述：已知某产品生产线上生产的零件长度服从正态分布，均值为10cm，标准差为0.5cm。从生产线随机抽取30件样品，求这些样品的平均长度落在9.8cm到10.2cm之间的概率。
解答：
根据中心极限定理，样本均值的分布也近似服从正态分布，其均值为总体均值（10cm），标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（即 \(\frac{0.5}{\sqrt{30}} \approx 0.0913\)）。
我们需要计算在9.8cm到10.2cm范围内的概率。标准化后得到：
\[
Z_1 = \frac{9.8 - 10}{0.0913} \approx -2.19, \quad Z_2 = \frac{10.2 - 10}{0.0913} \approx 2.19
\]
查标准正态分布表可得：
\[
P(-2.19 \leq Z \leq 2.19) = \Phi(2.19) - \Phi(-2.19)
\]
其中 \(\Phi(x)\) 表示标准正态分布函数值。查表得：
\[
\Phi(2.19) \approx 0.9857, \quad \Phi(-2.19) \approx 0.0143
\]
因此，
\[
P(-2.19 \leq Z \leq 2.19) \approx 0.9857 - 0.0143 = 0.9714
\]
最终结果：
- 样品的平均长度落在9.8cm到10.2cm之间的概率约为 97.14%。
以上是几个典型的统计学习题及其解答，希望对大家的学习有所帮助！统计学是一门实践性很强的学科，希望大家能够通过不断练习巩固理论知识，并将其灵活运用到实际问题中去。
