高等数学作为一门基础学科，在大学教育中占据着举足轻重的地位。无论是工科、理科还是部分文科专业，高等数学都是学生必须掌握的核心课程之一。本篇文章将围绕一道典型的高等数学题目展开分析，并提供详细的解答步骤与思路解析，旨在帮助读者更好地理解高等数学的基本概念和解题技巧。

例题：计算定积分

题目：

求定积分

$$

\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx

$$

解题思路

第一步：观察被积函数

被积函数为 $x \sin(x)$，这是一个关于 $x$ 的复合函数。由于 $\sin(x)$ 是一个周期函数，而 $x$ 是一个线性增长函数，因此它们的乘积在积分区间上具有一定的对称性。这种特性为我们提供了简化计算的可能性。

第二步：选择合适的积分方法

对于形如 $x \sin(x)$ 的函数，通常可以采用分部积分法（Integration by Parts）。分部积分公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

在这里，我们可以设：

$$

u = x, \quad dv = \sin(x) \, dx

$$

那么对应的微分形式为：

$$

du = dx, \quad v = -\cos(x)

$$

第三步：代入公式进行计算

根据分部积分公式：

$$

\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \left[ -x \cos(x) \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos(x)) \, dx

$$

首先计算第一项：

$$

\left[ -x \cos(x) \right]_0^{\pi} = \left( -\pi \cos(\pi) \right) - \left( -0 \cdot \cos(0) \right)

$$

注意到 $\cos(\pi) = -1$ 和 $\cos(0) = 1$，因此：

$$

\left[ -x \cos(x) \right]_0^{\pi} = \pi - 0 = \pi

$$

接下来计算第二项：

$$

-\int_0^{\pi} (-\cos(x)) \, dx = \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx

$$

积分结果为：

$$

\int_0^{\pi} \cos(x) \, dx = \left[ \sin(x) \right]_0^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0

$$

第四步：合并结果

将两部分结果相加，最终得到：

$$

\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \pi + 0 = \pi

$$

答案

$$

\boxed{\pi}

$$

总结与反思

通过这道题目的解答过程，我们发现分部积分法是解决这类问题的关键工具。同时，利用对称性和边界条件可以有效简化计算。在实际学习过程中，建议多练习类似的题目，逐步培养对高等数学思想的理解与应用能力。

希望本文能够帮助大家更好地掌握高等数学的核心知识！