排列组合典型例题（带详细答案）

排列组合是数学中一个重要的分支，它涉及到对事物进行有序或无序的选择和排列的方法。在日常生活以及各种考试中，排列组合问题经常出现。本文将通过几个典型的例题，帮助大家更好地理解和掌握排列组合的相关知识。

例题一：简单的排列问题

题目：有5本书，需要从中选出3本并按顺序摆放，问有多少种不同的摆放方式？

解答：

这是一个典型的排列问题。从5本书中选出3本并按顺序排列，可以用排列公式计算：

$$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$

其中，\( n = 5 \)，\( r = 3 \)。代入公式：

$$ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1} = 60 $$

因此，共有60种不同的摆放方式。

例题二：组合问题

题目：在一个班级里有10名学生，从中选出3人组成一个小组，问有多少种不同的选法？

解答：

这是一个典型的组合问题。从10名学生中选出3人，不考虑顺序，可以用组合公式计算：

$$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

其中，\( n = 10 \)，\( r = 3 \)。代入公式：

$$ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 $$

因此，共有120种不同的选法。

例题三：混合问题

题目：有6个不同的球，需要从中选出4个，并将它们分成两组，每组2个球。问有多少种不同的分组方法？

解答：

这个问题涉及排列和组合的结合。首先，从6个球中选出4个，然后将这4个球分成两组。

1. 选择4个球：使用组合公式 \( C(6, 4) \)：

$$ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 $$

2. 将4个球分成两组：每组2个球，不考虑顺序，使用组合公式 \( C(4, 2) \)：

$$ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 $$

3. 总方法数：将两步的结果相乘：

$$ 15 \times 6 = 90 $$

因此，共有90种不同的分组方法。

通过以上三个例题，我们可以看到排列组合问题虽然看似复杂，但只要掌握了基本的公式和方法，就可以轻松解决。希望这些例题能帮助大家更好地理解和应用排列组合的知识。

以上内容为原创，旨在提供清晰的解题思路和详细的答案解析，帮助读者加深理解。希望对您有所帮助！