在数学学习中，分式是一个重要的知识点，而分式的约分与通分则是分式运算的基础。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，本节课将通过一些典型例题，对分式的约分与通分进行详细的讲解和练习。

首先，我们来回顾一下分式的概念：分式是指分子和分母都是整式，并且分母中含有字母的代数式。分式的性质决定了我们可以对其进行约分或通分操作。

一、分式的约分

分式的约分是将分式的分子和分母中的公因式约去的过程。其核心在于找到分子和分母的最大公因式（GCD）。下面通过几个例子来具体说明：

例题1：

化简分式 $\frac{3x^2y}{9xy^2}$。

分析：观察分子和分母，发现它们都有 $3xy$ 这个公因式，因此可以约分。

解：$\frac{3x^2y}{9xy^2} = \frac{x}{3y}$。

例题2：

化简分式 $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$。

分析：分子可以分解为 $(x-2)(x+2)$，分母可以提取出 $x$ 的公因式。

解：$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}$ （注意，这里要求 $x \neq -2$）。

二、分式的通分

分式的通分是为了让多个分式具有相同的分母，以便进行加减运算。通分的关键在于找到各分式的最小公倍式（LCM）。

例题3：

计算 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$。

分析：两个分式的分母分别是 $x$ 和 $x+1$，它们没有公因式，因此最小公倍式为 $x(x+1)$。

解：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \frac{x+1+2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}$。

例题4：

计算 $\frac{3}{x^2 - 1} - \frac{2}{x^2 - x}$。

分析：分母分别为 $(x-1)(x+1)$ 和 $x(x-1)$，最小公倍式为 $x(x-1)(x+1)$。

解：$\frac{3}{x^2 - 1} - \frac{2}{x^2 - x} = \frac{3x}{x(x-1)(x+1)} - \frac{2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x - 2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x(x-1)(x+1)}$。

总结

通过以上例题，我们可以看出，分式的约分和通分虽然步骤不同，但都需要细心观察和灵活运用代数知识。希望大家在接下来的学习中多加练习，熟练掌握这两种方法，为后续更复杂的分式运算打下坚实基础。

以上就是本次习题课的内容，祝大家学习愉快！